Es gibt kaum etwas Leichteres, als das Fernverhalten ganzrationaler Funktionen. Dieser Unterpunkt jeder Kurvendiskussion kann sogar demjenigen Punkte bringen, der das gesamte Themengebiet nicht verstanden hat.

Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen

Wie erwähnt, dieser Unterpunkt ist die Chance, wenigstens ein paar Punkte zu bekommen. Leider vergessen gerade gute Schüler oft etwas über das Fernverhalten ganzrationaler Funktionen zu erwähnen und verschenken auf diese Weise Punkte.

Das ist eine ganzrationale Funktion in allgemeiner Schreibweise: f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ...+ a1 x1 + a0. Nicht erschrecken, es ist einfach nur eine Summe, bei der jeder Summand, aus einer Zahl vor x in Verbindung mit einer Hochzahl von x, besteht. Beispiel: f(x) = 3 x5 + 2 x2 - 3x.
Es kommt noch besser, denn für diesen Teil der Aufgabe ist nur die höchste Potenz wichtig. Sie müssen also das x suchen, dass die größte Hochzahl hat.
Nun interessiert nur, ob vor dem "x mit der höchsten Potenz" eine negative oder eine positive Zahl steht. Ferner ist wichtig, ob die Hochzahl, also der Exponent, eine gerade oder eine ungerade Zahl ist.

Untersuchung des Fernverhaltens

Wenn der Exponent der höchsten Potenz geradzahlig ist, dann wird das Fernverhalten für minus unendlich und plus unendlich gleich sein. Falls Sie sich das nicht merken können, setzen Sie einfach die Zahlen 100 und -100 in die Gleichung a x2 ein. Wobei der Faktor a dem Faktor vor der höchsten Potenz entspricht.

Sofern a eine positive Zahl ist, werden Sie erkennen, dass die Gleichung f(x) für x gleich plus und minus unendlich gegen plus unendlich strebt. Der Graph kommt aus dem II. Quadranten und geht in den I.
Ist a eine negative Zahl, ist es genau umgekehrt, die Gleichung strebt in beiden Fällen gegen minus unendlich. Der Graph kommt aus dem III. Quadranten und geht in den Vierten.
Sollte der höchste Exponent eine ungerade Zahl sein, können Sie die Gleichung y = a x als Beispiel nehmen. Der Graph strebt für minus unendlich in eine andere Richtung, als für plus unendlich.
Wenn a positiv ist, dann strebt er gegen minus unendlich für x gegen minus unendlich und gegen plus unendlich, für x gegen plus unendlich. Er kommt aus dem II. Quadranten und geht in den I.
Im Fall, dass a negativ ist, strebt er gegen plus unendlich, wenn x gegen minus unendlich geht und umgekehrt, wenn x gegen plus unendlich geht. Er kommt aus dem II. Quadranten und geht in den IV.

Sie müssen sich also nur 4 Fälle merken, um die Aufgabe, wie das Fernverhalten ganzrationaler Funktionen ist, zu lösen.

Gruß raffisworld