Berechnen Sie die Extrema des Polynoms und geben Sie das relative Maximum und Minimum an - so lauten viele Aufgaben in der Schule. Keine Panik, das ist nicht so schwer, wie es klingt.

Das ist bei einem Extrema zu beachten

Halten Sie sich vor Augen, was ein Polynom ist und wie der Graph der Funktionen aussieht, das erleichtert das Berechnen der Extrema.

Ein Polynom ist ein Ausdruck der Form f(x) = anxn+ an-1xn-1+...+a1x+a0. an, an-1 etc. und steht für konkrete Zahlenwerte. Beispiel: f(x) = x4-2x2-1.
Halten Sie sich den üblichen Verlauf eines solchen Funktionsgraphen vor Augen (siehe Bild). Bei einem Funktionsgraphen eines Polynoms müssen Sie immer mit kleinen Hügeln rechnen. Der Funktionsgraph fällt bis zum Tiefpunkt und steigt dann wieder bis zum Hochpunkt, danach fällt er wieder.
Beachten Sie dabei, dass die höchste Potenz eines Polynoms Ihnen zeigt, mit wie vielen Extrema Sie maximal rechnen müssen. Ist die höchste Potenz n, gibt es also höchsten n-1 Extrema. Im Beispiel müssen Sie mit 3 Extrema rechnen.
Zum Berechnen der Extrema denken Sie daran, dass die erste Ableitung einer Funktion die Steigung angibt. Die Steigung ändert sich im Extrempunkt, folglich muss diese also in diesem Punkt Null sein.
Aber beachten Sie, dass eine Nullstelle nicht immer auf eine Änderung des Vorzeichens hinweist, es kann sein, dass eine Funktionsgleichung den Wert Null annimmt, aber nie negativ wird. Denken Sie nur an die Funktionsgleichung f(x) = x2.
Sie müssen also sicher sein, dass die 1. Ableitung der Funktion in den Nullstellen der Ableitung tatsächlich zu einer Änderung des Vorzeichens führt. Also darf die Nullstelle der Ableitung selbst kein Extrema sein. Die Ableitung der 1. Ableitung (2. Ableitung der Funktion) darf also in der Nullstelle der 1. Ableitung nicht Null sein.

Das müssen Sie beachten, wenn Sie Extrema berechnen sollen.
Richtiges Berechnen der Ableitungen

Polynome werden immer nach der Formel abgeleitet, dass der Exponent des jeweiligen Summanden als Faktor davor gestellt wird, und der Exponent um eins reduziert wird. Also ist die Ableitung von f(x) = anxn+ an-1xn-1+...+a1x+a0 gleich f'(x) = n anxn-1+(n-1) an-1xn-2+...+a1x0+ 0 a0. Merken: Von der Hochzahl 1 abziehen, alte Hochzahl mit der Zahl vor dem x multiplizieren.
Beachten Sie unbedingt dabei, dass x0=1 ist. Denn daraus folgt, dass die Ableitung von a0 Null ist, denn a0 ist a0x0 und demnach wird der Term mit 0 multipliziert und entfällt.
Außerdem folgt aus x0=1, das a1x0= a1. Demnach schreiben Sie korrekterweise für f'(x) = n anxn-1+(n-1) an-1xn-2+...+a1x0+ 0 a0 nur f'(x) = n anxn-1+(n-1) an-1xn-2+...+a1.

Beispiel für das Berechnen von Extrema

Wenn Ihnen das Polynom f(x) = x4-2x2-1 gegeben ist und Sie sollen Extrema berechnen, gehen Sie so vor:

1. Bilden Sie die erste und die zweite Ableitung. Sie erhalten also f'(x) = 4x3-4x und f''(x) = 12x2-4.
2. Setzen Sie den Funktionsterm von f'(x) = 0: Also 4x3-4x = 0. Berechnen Sie die Nullstellen. Sie bekommen x1= 0, x2= 1 und x3 = -1 heraus.
3. Setzen Sie die Werte in die Funktionsgleichung f''(x) = 12 x2 - 4 ein. Sie bekommen f''(0) = - 4. Der Wert ist ungleich 0 und negativ. Das Extrema an der Stelle ist also ein Hochpunkt. Für f''(-1) und f''(1) bekommen Sie 8 heraus, das sind folglich Tiefpunkte.
4. Wenn Sie den Graph zeichnen sollen, müssen Sie nun die Werte x1= 0, x2= 1 und x3 = -1 in die Funktionsgleichung einsetzen. Sie bekommen f(0) = 04-202-1= -1. Der Hochpunkt H liegt also bei H(0/-1). f(-1) = (-1)4 - 2 (-1)2 - 1 = 1-2-1=-2. Das Gleiche bekommen Sie auch für x2= 1 heraus. Die Tiefpunkte liegen also bei T1(-1/-2) und T2(1/-2).

Nach diesem Schema müssen Sie Extrema berechnen.

Gruß raffisworld