Kubische Gleichungen, in denen die Unbekannte "x" als Kubikzahl vorkommt, sind nicht leicht zu lösen. Im Fall x³ - x² hilft allerdings ein Trick, den Sie für diese Art immer anwenden können.

x³ - x² lösen - so wird's gemacht

Ein kubischer Term der Form x³ - x² kann an mehreren Stellen in der Mathematik auftreten. Entweder sollen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = x³ - x² bestimmen oder auch die Gleichung x³ - x² = 0 lösen. Beide Fälle stimmen überein, denn die Bedingung für Nullstellen ist ja gerade f(x) = 0.

1. Bei x³ - x² = 0 gibt es - wie beispielsweise bei quadratischen Gleichungen - keine Formel, mit der Sie diese lösen können. Allerdings kann man den Term durch Ausklammern von x² vereinfachen.
2. Sie erhalten x² * (x -1) = 0. Hierbei handelt es sich um ein Produkt aus x² und (x-1), das Null werden soll. Produkte jedoch werden nur Null, wenn (mindestens) einer der beiden Faktoren Null ist.
3. Genau dies nehmen Sie bei der Lösung an und setzen x² = 0. Hieraus ergibt sich sofort die erste Lösung, nämlich x1 = 0.
4. Dann nehmen Sie sich den zweiten Faktor vor und setzen x - 1 = 0. Sie berechnen die zweite Lösung, nämlich x2 = 1.

Aber Achtung: Man könnte auf die Idee kommen und die Gleichung x³ - x² = 0 einfach durch x² zu teilen. Tun Sie dies in keinem Fall! Denn Sie verlieren dabei nicht nur eine Lösung, nämlich x1 = 0 (siehe oben), sondern Sie operieren auch im mathematisch Verbotenen. Die Unbekannte "x" kann ja auch Null sein (und das ist sie tatsächlich) und durch Null dürfen Sie nicht teilen.
Das Verfahren verallgemeinern

Gehen Sie gedanklich noch einmal zurück: Sie konnten die obige Gleichung lösen, indem Sie eine Potenz von x (hier x²) ausgeklammert und dann die beiden entstandenen Faktoren einzeln auf Nullstellen untersucht haben.
Diese Vorgehensweise ist immer dann möglich, wenn ein Term vorliegt, der die Unbekannte "x" nur in Potenzen enthält, also keine weitere Zahl.
So können Sie beispielsweise bei x² - x = 0 oder auch bei der Gleichung x4 - x³ = 0 "x" als Faktor ausklammern. Und selbst bei der Gleichung x8 - 2x6 + x² = 0 ist noch das Ausklammern von x² möglich (was auch zur Lösung führt).
Eine Gleichung der Form x³ - 2x + 8 = 0 können Sie wegen der Konstanten "8" mit diesem Verfahren jedoch nicht lösen.


Gruß raffisworld