Der Satz von Vieta ist eine schnelle und elegante Probe. Mit ihm lassen sich die Lösungen von quadratischen Gleichungen überprüfen.

Der Satz von Vieta - eine Probe

Quadratische Gleichungen der Form x² +px + q = 0 lösen Sie im Allgemeinen mit der bekannten pq-Formel (oder mithilfe der quadratischen Ergänzung). Je nach Zahlenkombi von p und q ergeben sich zwei Lösungen x1 und x2, eine einzige Lösung xo oder keine Lösung.
Der Satz von Vieta (eigentlich sind es zwei Formeln!) stellt nun einen Zusammenhang zwischen diesen berechneten Lösungen und den beiden Zahlen p und q her.
Es gilt: x1 + x2 = -p sowie x1 * x2 = q.
Um also Ihre Rechnung zu überprüfen, brauchen Sie nichts weiter zu tun, als die beiden Lösungen zu addieren sowie zu multiplizieren. Liegt nur eine Lösung vor, so ist diese sowohl für x1 als auch für x2 zu setzen (sog. Doppellösung).

Lösungen prüfen - ein durchgerechnetes Beispiel

Die quadratische Gleichung x² - 3x - 4 = 0 hat die beiden Lösungen x1 = 4 und x2 = -1 (berechnet nach der pq-Formel).
Sie prüfen: x1 + x2 = 4 - 1 = 3 = -p, weil p = -3!
Sowie: x1 * x2 = 4 * (-1) = -4 = q. Folglich wurde richtig gerechnet.

Finden von Lösungen mit dem Satz von Vieta

Wenn Sie von einer quadratischen Gleichung wissen, dass diese ganzzahlige Lösungen hat, dann können Sie mit dem Satz des Vieta diese Lösungen (durch geschicktes Probieren) finden. Hier kann man mit der Zeit sogar einige Übung bekommen.
Sollen zum Beispiel zu der quadratischen Gleichung x² - 5x + 6 = 0 die Lösungen gefunden werden, zerlegen Sie zunächst q = 6 in ganzzahlige Faktoren, also 6 = 1 x 6 bzw. 6 = 2 x 3 sowie deren negative Gegenzahlen (-1, -6, -2 ,-3). Alle Zerlegungen kommen zunächst (!) Lösung infrage.
Jedoch nur x1 = 2 und x2 = 3 sind in diesem Fall richtig, denn nur hier gilt x1 + x2 = 2 + 3 = 5 = -p!
Besonders einfach ist das Verfahren, wenn q eine Primzahl ist, denn dann gibt es nur die Zerlegung 1 x q bzw. (-1) x (-q).


Gruß raffisworld