Ganzrationale Funktionen ist Thema der Schulmathematik, meist im 11. Schuljahr. Die Aufgabenstellung ist, eine ganzrationale Funktion mit bestimmten Eigenschaften zu finden. Keine leichte Aufgabe, aber beim Berechnen können Sie einem strikten Schema folgen.

Ganzrationale Funktionen - so gehen Sie beim Berechnen vor

1. Eine ganzrationale Funktion ist immer eine Summe von Potenzfunktionen (unterschiedlichen Grades), die mit Koeffizienten (Zahlen vor den Potenzen) versehen sind.
2. Ein Beispiel für eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist f(x) = 3 x³ - x² + 7.
3. Die Aufgabenstellung, mit der Sie konfrontiert werden, lautet jedoch oft, solch eine Funktion zu finden, das heißt, Sie sollen aus vorgegebenen Eigenschaften dieser Funktion die Koeffizienten, also die Zahlen vor den Potenzen, berechnen.
4. Dabei gibt es ein striktes Schema, nach dem man vorgeht.
5. Zunächst ergibt sich aus der Aufgabe, welchen Grad die ganzrationale Funktion hat, beispielsweise könnte Sie dritten Grades sein.
6. Dementsprechend stellen Sie die gesuchte Funktionsgleichung in der Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d in ganz allgemeiner Form auf. Die Zahlenwerte a, b, c und d kennen Sie noch nicht, sie sollen aus der Aufgabe stimmt werden.
7. Die Anzahl der Zahlen gibt die Anzahl der Bedingungen an, mit denen Sie zu kämpfen haben. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat immer 4 Koeffizienten, also benötigen Sie auch 4 Bedingungen für die Funktion.
8. Bevor Sie nun weiterarbeiten, sollten Sie die erste und zweite Ableitung dieser gesuchten Funktion, als f'(x) und f''(x) bilden. Sie werden Sie für die Bedingungen benötigen.
9. Nun stellen Sie die Bedingungen auf. Beispielsweise könnte die Funktion durch den Punkt P(3/0) gehen. Die zugehörige Bedingung heißt f(3) = 0
10. Oder die Funktion hat bei x = -1 ein Extremwert. Diese Bedingung heißt f'(-1) = 0 (Ableitung liefert Extremwerte)
11. Wenn Sie nun alle Bedingungen (unbedingt durchnummerieren) aufgestellt haben, müssen Sie daraus nun Gleichungen für die gesuchten Unbekannten a, b, c und d erzeugen.
12. Entsprechend setzen Sie also die x-Werte aus den Bedingungen entweder in die Ausgangsfunktion f(x), in die erste Ableitung f'(x) oder in die zweite Ableitung f''(x) (Wendepunkte!!) ein. Aus jeder Bedingung ergibt sich eine Gleichung.
13. Nun haben Sie im schlechtesten Fall 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten zu lösen. Meist jedoch ergibt sich aus einer der Bedingungen bereits eine Unbekannte; man hat dann weniger Gleichungen, die man lösen muss.
14. Wenn Sie letztendlich aus diesem Gleichungssystem die Unbekannten a, b, c und d berechnet haben, stellen Sie die Funktion dann noch auf, indem Sie in die allgemeine Form von f(x) aus 6. (siehe oben) die gefundenen Zahlenwerte einsetzen.

Ganzrationale Funktionen bestimmen - ein Beispiel

Um das abstrakte Schema mit Praxis zu füllen, sei ein Beispiel gerechnet.
Die Aufgabe lautet: Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P(1/9) eine zur x-Achse parallele Tangente und in Q(3/1) einen Wendepunkt.
Funktion und deren Ableitungen allgemein aufstellen: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2b
Da vier Unbekannte a, b, c und d zu bestimmen sind, benötigen Sie vier Bedingungen.
Dies lauten: (1) Funktion geht durch P(1/9), also f(1) = 9; (2) Funktion geht durch Q(3/1), also f(3) = 1; (3) waagrechte Tangente in P, also dort Extremum, also f'(1) = 0; (4) Wendepunkt in Q, also f''(3) = 0
Aus diesen vier Bedingungen ergeben sich die nachfolgenden vier Gleichungen:
(1) a + b + c + d = 9 (setze in Ausgangsfunktion x = 1 ein!)
(2) 27a + 9b + 3c + d = 1 (setze in Ausgangsfunktion x = 3 ein)
(3) 3a + 2b + c = 0 (setze in f'(x) x= 1 ein, da dort Extremum)
(4) 18 a + 2b = 0
Dieses Gleichungssystem müssen Sie nun lösen. Es sieht schlimmer aus, als es ist! Benutzen Sie am besten das Einsetzungsverfahren für die Gleichung (4) und Sie erhalten b = -9a, das in (3) eingesetzt wird.
Aus Gleichung (3) können Sie c in Abhängigkeit von a berechnen.
Beide Ergebnisse werden dann in die Gleichungen (1) und (2) eingesetzt. Es sind nur noch die Unbekannten a und b enthalten, die Sie dann berechnen können.
Wenn man die Bedingungen gefunden hat, ist diese Berechnung dann leider oft eine Klippe bei der Lösung der Aufgabe. Und das Berechnen von Gleichungen birgt natürlich auch unendlich viele Möglichkeiten, sich zu verrechnen.


Gruß raffisworld