Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist nicht schwierig zu bestimmen. Sie müssen beim Umkehren der Funktion nur an die Definition denken. Diese enthält eigentlich schon die Lösung.

Den Logarithmus genauer betrachten

Beachten Sie folgende Zusammenhänge, dann fällt es Ihnen nicht schwer, einen Logarithmus umzukehren:

Der Ausdruck loga(x) ist genau genommen eine Frage. Diese lautet: Mit welcher Zahl müssen Sie a potenzieren, um x zu erhalten (a?=x)? Der Mathematiker spricht bei loga(x) von Logarithmus x zur Basis a. Sie müssen also immer eine Basis kennen.
Zwei Basen sind in der Mathematik so weit verbreitet, dass es eigene Schreibweisen gibt. Es sind die Basen 10 und e. e ist eine mathematische Konstante, die Eulersche Zahl e = 2,71828 18284 59045 23536 …. Derzeit sind 1012 Stellen der Zahl bekannt.
ln(x) = loge(x): Wenn die Basis des Logarithmus e ist, spricht der Mathematiker vom natürlichen Logarithmus oder Logarithmus naturalis.
lg(x) = log10(x): Wenn der Basis des Logarithmus die Zahl 10 ist, nennen Mathematiker ihn dekadischer Logarithmus.
Die Funktion umkehren

Sie können bekanntlich nur eine Funktion umkehren, keinen Therm. f(x) = loga(x) ist eine Logarithmusfunktion. Diese können Sie auch als y = loga(x) schreiben.

1. Sie haben eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element der Definitionsmenge ein Element der Zielmenge zuordnet. Vereinfacht ausgedrückt jedem x wird ein y zugeordnet.
2. Beim Umkehren wollen Sie wissen, aus welchem Element der Definitionsmenge ein Ihnen bekanntes Element der Zielmenge entstanden ist. Sie fragen also welches x zu einem bekannten y gehört.
3. Mathematisch ausgedrückt: f-1(x) = loga(x) oder x = loga(y). Diese Funktionsgleichung müssen Sie nun wieder nach y auflösen.
4. Denken Sie an die Definition des Logarithmus x = loga(y), ist die Frage: y = a?. Die Antwort auf die Frage kennen Sie, es ist x. Damit lautet die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion y = ax. Sie haben eine Exponentialfunktion.
5. Demnach hat ein dekadischer Logarithmus die Umkehrfunktion f-1(x) = lg (x) => x = log10(y) => y = 10x. Für den natürlichen Logarithmus folgt daraus f-1(x) = ln (x) = ex.

Zur Verdeutlichung zwei Zahlenbeispiele: log28 ist die Frage, mit was müssen Sie potenzieren, um 8 zu erhalten? Die Antwort heißt 3. log28 = 3 oder 23 = 8. lg 100 ist die Frage mit was Sie 10 potenzieren müssen, um 100 zu erhalten. Es ist 2. lg 100 = 2 oder 102 = 100.
Umkehrfunktion von Logarithmen in drei Schritten bilden

Sie sollen die Umkehrfunktion von y = loga (x) bilden. (Beispiel: y = log2(x)).

1. Stellen Sie die Basis fest. lg hat die Basis 10, ln die Basis e. Bei allen anderen Logarithmen loga ist die Basis angegeben. (Im Beispiel ist es die 2)
2. Schreiben Sie f-1(x) = Basis. Für das Beispiel gilt: f-1(x) = 2 (Achtung, das ist nicht die Lösung, nur ein Zwischenschritt).
3. Stellen Sie das Argument fest. Dieses ist x. Schreiben Sie das Argument als Exponent für Basis. Aus f-1(x) = Basis wird f-1(x) = Basisx. Für das Beispiel gilt: f-1(x) = 2 wird zu f-1(x) = 2x.

Nach diesem Schema können Sie jede Logarithmusfunktion umkehren. Wie Sie sehen, ist es sehr einfach.

Gruß raffisworld