Die Binomialverteilung ist eine wichtige Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Je nach Frage- oder Aufgabenstellung ist hier auch das Rechnen mit dem Logarithmus notwendig. So gelingt es.

Was ist eine Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung ist eine Verteilungsart bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit ihr kann grafisch abgelesen werden, wie wahrscheinlich ein bestimmter Ausgang eines Experimentes bei mehrfacher Durchführung ist.
Bei Bernoulliprozessen handelt es sich um Experimente, die nur zwei mögliche Ausgänge haben, "Erfolg" und "Misserfolg". Ein klassisches Beispiel ist hierfür der Wurf einer Münze.
Eine Binomialverteilung ist bei p = 0, p = 1/2 und p=1 symmetrisch und besitzt die erzeugende Funktion gx(s) = ( ps + (1-p))n .

Was ist der Logarithmus?

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zum Potenzieren. Wenn also gilt a=bx,bedeutet das, dass x = logb(a) ist. Die Binomialverteilung ist eine Verteilungsart bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Soll der Logarithmus mit dem Taschenrechner berechnet werden, bietet es sich an, den dekadischen Logarithmus, auch lg abgekürzt, anzuwenden.

Hier gilt, dass logb(a) = lg(a) / lg(b) . Somit ist auch x= lg(a) / lg(b). Sprachlich ausgedrückt ist also die Potenz der Basis b der dekadische Logarithmus der Zahl a dividiert durch den dekadischen Logarithmus der Basis b.

Der Zusammenhang

Besagt eine mathematische Aufgabe, dass berechnet werden soll, wie oft ein Bernoulli-Experiment durchgeführt werden muss, um eine bestimmte Gesamtwahrscheinlichkeit für insgesamt mindestens ein positives Ergebnis zu erhalten, so kann dies mit dem Logarithmus berechnet werden.
Für die Berechnung werden nun aber die negativen Experimentausgänge betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Ausgang bei einfacher Durchführung liegt folglich bei 1-p. Dies entspricht der Basis b beim Potenzrechnen. x gibt hier die Anzahl der Durchgänge an und a die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis, die erreicht werden soll. Durch Einsetzen der Werte in die Logarithmusformel kann x berechnet werden.
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, mit einer Münze beim einmaligen Werfen das positive Ergebnis Kopf zu erhalten, liegt bei 50%. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis ebenfalls bei 50%, wodurch b=0,5 ist.
Nun wird gefragt, wie oft die Münze geworfen werden muss, um mit einer 90%igen Wahrscheinlichkeit mindestens einmal Kopf zu werden. Dies bedeutet, dass a = 1-0,9 = 0,1 ist.
Aus der Formel ergibt sich nun x= lg(0,1)/lg(0,5) = 3,32. Da 3 Würfe eine zu geringe Wahrscheinlichkeit mit sich bringen würden, muss die Münze in diesem Beispiel 4-mal geworfen werden, um zu 90 % mindestens einmal Kopf zu werfen.


Gruß raffisworld