Die Logarithmus-Funktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Wie andere Funktionen können Sie sie innerhalb der Differenzialrechnung bis zum 3. Grad ableiten. Mit gegebenen Regeln ist dies für Sie nicht schwierig.

Wichtige Eigenschaften der Logarithmus-Funktion erlernen

Beschäftigen Sie sich mit Logarithmus-Funktionen werden Sie feststellen, dass diese Funktion mit dekadischem und natürlichem Logarithmus vorkommt.
Merken Sie sich, dass die Logarithmus-Funktion eine langsam steigende Funktion ist.
Beachten Sie, dass bei der Funktion y = logax alle x positiv sind und somit der Definitionsbereich zwischen 0 und unendlich liegt.
Dagegen werden Sie bemerken, dass der y-Wert der Funktion sowohl einen positiven als auch einen negativen Wert annehmen und im Bereich plus unendlich und minus unendlich liegen kann.
Bei der Ableitung einer Logarithmus-Funktion müssen Sie bestimmte Regeln beachten.

So leiten Sie die Funktion ab

Berechnen Sie die 1. Ableitung einer ln-Funktion in der Form f(x) = ln(x) so erhalten Sie f`(x) = 1/x = x-1.
Merken Sie sich, dass nach der Faktorregel für f(x) = a * ln(x) die 1. Ableitung f`(x) = a * 1/x lautet, wobei a € R ist. Als Beispiel soll gelten: f(x) = 5 * ln(x) - f'(x) = 5 * 1/x = 5x-1.
Die nächste Regel, die Sie kennen müssen, um eine Logarithmus-Funktion abzuleiten, ist die Kettenregel. Für f(x) = g (h(x)) gilt die 1. Ableitung f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).
Ein Beispiel soll Ihnen diese Regel verdeutlichen: bei f(x) = ln (6x) ist g(x) = ln(x) mit der Ableitung g`(x) = 1/x und h(x) = 6x mit der Ableitung h'(x) = 6. Somit ist g`(h(x)) = 1/6x. Setzen Sie nun die Werte in die Ableitungsformel der Kettenregel ein, ergibt sich f'(x) = 1/6x * 6 = 1/x.
Eine weitere Regel, die Summen- und Differenzregel, ist für Sie ebenfalls notwendig, um eine Logarithmus-Funktion abzuleiten. Sie lautet: f(x) = g(x) +/- h(x) = f`(x) = g`(x) +/- h'(x).
Leiten Sie die Funktion f(x) = ln(x) + 2 * ln(x2) ab, erhalten Sie nach den bereits bekannten Regeln folgende Ergebnisse: g(x) = ln(x) mit Ableitung g`(x) = 1/x und h = 2 * ln(x2) mit der Ableitung h`= 2 * 1/x2* 2x. Setzen Sie diese Ergebnisse in die Formel für die Summen- und Differenzregel ein, erhalten Sie: f`(x) 1/x + 2 * 1/x2* 2x = 5/x.
Die letzte Regel, um eine Logarithmus-Funktion abzuleiten, ist die Quotientenregel. Sie lautet: f(x) = g(x) / h(x) mit der Ableitung f'(x) = h(x) * g'(x) - g(x) * h`(x) / (h(x))2.
Folgendes Beispiel soll Ihnen helfen, die Quotientenregel anzuwenden: f(x) = ln(x) / x. Hierbei ist g(x) = ln(x) mit der Ableitung g`(x) = 1/x und h(x) = x mit der Ableitung h`(x) = 1. Setzen Sie die Werte in die Formel der Quotientenregel ein, ergibt sich: f`(x) = x * 1/x - ln(x) * 1 / x2 = 1 - ln(x) / x2.


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