Sie sollen das Integral von "1/x^3", also der Funktion f(x) = 1/x³ finden. Hierfür gibt es eine einfache Regel, die solche Problemfälle "erschlägt".

1/x^3 vereinfachen - so gehen Sie vor


Zugegeben, der Ausdruck "1/x^3" ist nicht leicht zu interpretieren, denn dahinter versteckt sich eine (dennoch einfache) gebrochen rationale Funktion.

Zunächst formen Sie um f(x) = 1/x^3 = 1/x³.
Nun wenden Sie ein Potenzgesetz an, nämlich 1/an = a-n und Sie erhalten: f(x) = x-3.

Integral für Funktionen mit der negativen Potenz

Genauso wie man Funktionen der Form f(x) = xm mit beliebigen Potenzen m (m kann hier nicht nur eine natürliche Zahl, sondern auch negativ, Bruch oder auch eine reelle Zahl sein) nach der bekannten Regel ableiten kann (bei f(x) = xm gilt f'(x) =m * xm-1; dabei kann m jede beliebige reelle Zahl sein), können Sie auch beim Integrieren die Ihnen bekannte Integralregel anwenden.
Es gilt nämlich ? xm = 1/(m+1) * xm+1, wobei m nicht notwendig eine natürliche Zahl sein muss, ausgenommen der Fall m = -1. Die Regel lässt sich durch Ableiten (der Umkehroperation zum Integrieren) leicht zeigen.
Wenden Sie die Regel an, so können Sie beliebige Funktionen mit beliebigen Exponenten (in Ihrem Fall also auch m = -3) integrieren.
Sie erhalten: ? x-3 = 1/(-3+1) * x-3+1 = = - 1/2 x-2 = -1/2 * 1/x² = - 1/(2x²), um noch einige andere Schreibweisen zu zeigen, sowie in der etwas umständlicheren Schreibweise -1/2 * 1/x^2.

Fazit: Gebrochen rationale Funktionen der Art 1/x^m lassen sich recht einfach integrieren, wenn man diese in eine Funktion mit negativer Potenz umwandelt und dann die bekannte Integralregel anwendet. Das Verfahren funktioniert jedoch nicht bei Funktionen der Form 1/(x² - 2x) oder auch 2x/(x+1), da es sich hier nicht um einfach gebrochene Funktionen handelt. Hier sind andere Verfahren nötig wie beispielsweise das Integrieren durch Substitution.

Gruß raffisworld