Einheitskreis in der Mathematik - was ist denn das nun schon wieder? Die Erklärung ist recht simpel und an einem Beispiel schnell verstanden.

Bedeutung des Einheitskreises

Der Einheitskreis ist nichts anderes als ein Kreis mit Radius r = 1, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Mithilfe eines Einheitskreises können Sie verschiedene interessante mathematische Eigenschaften zeigen.

Der Einheitskreis hat gerade den Flächeninhalt ?, denn es gilt: AKreis = ?r2 = ?(1)2 = ?.
Ein ebenso einfaches Ergebnis erhalten Sie für den Umfang. Die Erklärung: UKreis = ?d = ?(2r) = 2?. Der Umfang des Einheitskreises ist also gerade doppelt so groß wie der Flächeninhalt.
In der Schule werden Sie den Einheitskreis aber wahrscheinlich in einem anderen Zusammenhang kennengelernt haben. Durch Verwendung des Einheitskreises können Sie relativ einfach trigonometrische Zusammenhänge erklären.

Erklärung der Zusammenhänge trigonometrischer Funktionen

Wie Sie wahrscheinlich wissen, gelten im rechtwinkligen Dreieck die Beziehungen: sin ? = Gegenkathete / Hypothenuse, cos ? = Ankathete / Hypothenuse und tan ? = Gegenkathete / Ankathete.
Dabei ist die Gegenkathete die dem Winkel gegenüberliegende Seite, die Hypothenuse immer die Längste der drei Seiten und die Ankathete die andere Seite, die direkt am Winkel anschließt.
Zeichnen Sie nun das Koordinatensystem am Einheitskreis mit der horizontalen x-Achse, der senkrechten y-Achse und dem Schnittpunkt im Mittelpunkt des Einheitskreises ein.
Wählen Sie nun ein rechtwinkliges Dreieck aus, das einen Punkt des Kreises innerhalb des ersten Quadranten und den Mittelpunkt des Einheitskreises besitzt. Der rechte Winkel liegt am dritten Punkt, der auf der x-Achse liegt.
Wenden Sie nun die Beziehung für den Sinus an. Es gilt sin ? = Gegenkathete / Hypothenuse = Gegenkathete. Erklärung: die Hypothenuse entspricht ja gerade dem Radius. Sie können also den Sinus am Einheitskreis kenntlich machen! Variieren Sie nun das Dreieck, indem Sie den Winkel ? mal größer, mal kleiner wählen und das rechtwinklige Dreieck wie oben bilden.
Sie werden feststellen, dass die wichtigen Beziehungen sin 0 = 0 und sin ?/2 = 1 gelten. Sie können auch Winkel größer als 90 Grad wählen, um zu erkennen, dass der Sinus zwischen 180 und 360 Grad negativ wird.
Gleiches können Sie auch für den Kosinus durchführen und werden sehen, dass der Kosinus zwischen 90 und 270 Grad negativ ist.

Spielen Sie einfach etwas mit dem Einheitskreis und überlegen Sie sich selbstständig, ob auch der Tangens am Einheitskreis abgezeichnet werden kann.