Die Herleitung der Formel der Kugeloberfläche ist recht einfach, aber Sie müssen auch die Volumenformel kennen, oder diese ebenfalls herleiten. So bestimmen Sie Oberfläche und Volumen einer Kugel.
Kugeloberfläche in Abhängigkeit vom Volumen einer Kugel

1. Stellen Sie sich vor, dass Sie eine Kugel aus lauter Pyramiden zusammensetzen. Sie haben also
eine große Anzahl n von Pyramiden des Volumens VPyramide= 1/3 G h. Dabei entspricht h dem
Radius der Kugel. Die Pyramiden treffen sich mit der Spitze S alle im Mittelpunkt M der Kugel.
2. Die Summe aller Grundflächen G entspricht dabei der Oberfläche der Kugel, wenn Sie die Kugel in
unendlich viele Pyramiden zerlegen. Es gelten also folgende Zusammenhänge: VKugel = 4/3 pi r3
und VKugel =n VPyramide und VPyramide= (1/3 G r) und OKugel=n G.
3. Aus dem Zusammenhang VKugel = n VPyramide ergibt sich n (1/3 G r) = 4/3 pi r3. Stellen Sie die
Formel nach G um, in dem Sie mit 3 multiplizieren und durch n und r dividieren. Sie erhalten
G = 4 pi r3/(n r) = 4 pi r2/n
4. Setzen Sie das in die Formel OKugel = n G ein. Sie erhalten OKugel= 4 pi r2.
Jetzt haben Sie eine Herleitung der Formel für die Kugeloberfläche.

Herleitung der Volumenformel

Sofern die Formel für das Volumen einer Kugel nicht bekannt ist, müssen Sie auch diese herleiten, damit die Berechnung der Kugeloberfläche möglich ist.

1. Laut dem Satz des Cavalieri besitzen zwei Körper dasselbe Volumen, wenn deren Schnittflächen,
die in Ebenen, welche parallel zu einer Grundebene ausgeführt worden sind, in den
entsprechenden Abständen zu dieser, den gleichen Flächeninhalt haben. Wenn Sie also in einem
beliebigen Abstand x parallel zur Grundfläche durch die Körper schneiden und die Schnittflächen
der Körper für gleiche x-Werte den gleichen Flächeninhalt haben, dann sind auch die Volumina
gleich.
2. Um diesen Satz anzuwenden, betrachten Sie das Volumen einer Halbkugel. Der zugehörige
Vergleichskörper muss also in jeder Schnittebene den gleichen Flächeninhalt haben wie die
Kreise, die sich bei den Schnitten durch die Halbkugel ergeben.
3. Nehmen Sie als Vergleichskörper einen Zylinder mit dem Radius r und der Höhe r, aus dem Sie
einen Kegel mit dem Radius r und einer Höhe r ausfräsen.
4. Betrachten Sie sich die Zeichnung. Für den linken Kreis ergibt sich eine Fläche von AKreis= pi
(r2-x2) = pi r2 - pi x2. Für den rechten Kreisring ergibt sich AKreisring = pi r2 - pi x2. Da die
Fläche des kleinen Kreises nur von der Fläche des großen abgezogen werden muss.
5. Also ist das Volumen einer Halbkugel gleich dem Volumen des Zylinders minus dem Volumen des
Kegels. VHalbkugel = Vzylinder-VKegel= pi r2 h - 1/3 pi r2 h = pi r3 - 1/3 pi r3 =2/3 pi r3.
6. Demnach ist das Volumen einer Kugel VKugel = 4/3 pi r3.

Jetzt ist die Herleitung der Formel für die Kugeloberfläche komplett.

Gruß raffisworld