Ein vielen fundamentalen Fragen der Teilchen- und Quantenphysik zugrunde liegendes mathematisches Problem ist nachweislich unlösbar. Den Beweis dafür hat nun ein internationales Team erbracht.

Auch bei einer vollständigen mikroskopischen Beschreibung eines Quantenmaterials ist im Allgemeinen nicht vorhersagbar, ob das Material eine spektrale Lücke hat. Das wollen Forscher der Technischen Universität München (TUM), des University College London (UCL) und der Universidad Complutense in Madrid bewiesen haben; sie haben die Ergebnisse ihrer Studie in Nature veröffentlicht.

Eine kleine "spektrale Lücke" – die Energie, die benötigt wird, um ein Elektron aus dem niedrigsten Energiezustand in einen angeregten Zustand zu befördern – ist die zentrale Eigenschaft von Halbleitern. In ähnlicher Weise spielen spektrale Lücken auch bei vielen anderen Materialien eine wichtige Rolle. Schließt sich diese spektrale Lücke, das heißt, wird der Energieabstand sehr klein, können Materialien sprunghaft zu einem völlig anderen Verhalten übergehen. Ein Beispiel hierfür ist der Übergang zur Supraleitung bei tiefen Temperaturen.
Mathematische Fragen "unentscheidbar"

"Alan Turing ist berühmt für seine Rolle beim Knacken des Enigma-Codes", erklärt Co-Autor Dr. Toby Cubitt, Informatiker am UCL. "Aber unter Mathematikern und Informatikern ist er noch bekannter für seinen Beweis, dass bestimmte mathematische Fragen 'unentscheidbar' sind – sie sind weder wahr noch falsch, sondern außerhalb der Reichweite der Mathematik."

Die Forschergemeinschaft habe nun gezeigt, dass die spektrale Lücke zu diesen unentscheidbaren Problemen gehöre. Das bedeutet, dass es keine allgemeine Methode geben kann, um festzustellen, ob ein quantenmechanisch beschriebenes Material eine spektrale Lücke hat, oder nicht. Cubitt ergänzt: "Dies begrenzt die Möglichkeiten, das Verhalten von Quantenmaterialien vorherzusagen entscheidend – möglicherweise sogar grundlegende Aussagen in der Teilchenphysik."
Eine Million US-Dollar

Eines der bekanntesten Probleme im Zusammenhang mit spektralen Lücken ist die Frage, ob das Standardmodell der Teilchenphysik eine spektrale Lücke vorhersagt. Die "Yang-Mills-Massenlücke-Vermutung" gilt als eines der sieben sogenannten Millennium-Probleme. Teilchenphysikalische Experimente wie CERN und numerische Rechnungen auf Supercomputern legen nahe, dass es auch hier eine spektrale Lücke gibt. Demjenigen, der dies mathematisch aus den Gleichungen des Standardmodells beweist, winkt ein Preis des Clay Mathematics Institute (USA) in Höhe von einer Million US-Dollar.

"In bestimmten Fällen kann ein Teilproblem lösbar sein, auch wenn das allgemeine Problem unentscheidbar ist. Den begehrten Preis könnte also noch jemand gewinnen", sagt Dr. Cubitt. "Aber unsere Ergebnisse deuten stark darauf hin, dass einige der großen offenen Probleme der theoretischen Physik nachweislich unlösbar sein könnten."
Im Herz der theoretischen Physik

Michael Wolf, Professor für Mathematische Physik an der Technischen Universität München, macht deutlich, dass es bisher nur "in sehr abstrakten Winkeln der theoretischen Informatik und der mathematischen Logik" prinzipiell unentscheidbare Probleme gab. Seit den Arbeiten von Turing und Gödel in den 1930er Jahren hätte man davon gewusst. Allerdings hätte niemand erwartet "so etwas mitten im Herzen der theoretischen Physik" zu finden.

Aus einer "mehr philosophischen Perspektive heraus" sei dies auch eine Herausforderung für den reduktionistischen Standpunkt. "Denn die unüberwindliche Schwierigkeit liegt gerade in der Herleitung der makroskopischen Eigenschaften aus einer mikroskopischen Beschreibung."
Extrem abnormes Verhalten

David Pérez-García Professor an der Universidad Complutense de Madrid und am Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), erkennt darin keine schlechte Nachricht. "Der Grund dafür, dass dieses Problem nicht zu lösen ist, liegt darin, dass Modelle auf dieser Ebene ein extrem abnormes Verhalten zeigen. Es macht es uns unmöglich sie zu analysieren." Dadurch zeige sich aber auch eine "sehr eigenartige, neue Physik, die niemand zuvor gesehen hat." Eine neue Physik wie diese habe schon oft auch neue Technologien hervorgebracht.

Die Forscher versuchen nun, ihre in der künstlichen Welt mathematischer Modelle gewonnenen Erkenntnisse auf reale Quantenmaterialien zu übertragen, die im Labor hergestellt werden können.