Das ist eine waagerechte Asymptote

Wenn Sie in einer Aufgabe aus der Mathematik eine Funktion untersuchen sollen und dabei die waagerechte Asymptote bestimmen sollen, sollten Sie zunächst wissen, was das eigentlich bedeutet.

Sollten Sie eine waagerechte Asymptote bestimmen müssen, bedeutet dass, dass Sie eine Gerade finden sollen, der sich die gegebene Funktion beliebig annähert, ohne sie zu berühren.
Da es sich um eine waagerechte Asymptote handeln soll, heißt das, dass die Asymptote bzw. die gesuchte Gerade einen waagerechten Verlauf haben soll, das heißt die x-Achse selbst ist oder parallel zur x-Achse verläuft.
Mathematisch gesehen nähert sich die Funktion für große x-Werte dieser waagrechten Geraden, ohne Sie jedoch zu erreichen.

So bestimmen Sie die waagerechte Asymptote

Besonders häufig kommen waagerechte Asymptoten bei gebrochen rationalen Funktionen vor, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner die Variable x und evtl. Potenzen davon auftauchen. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = 1-x(x². Aber auch Exponentialfunktionen oder Logarithmusfunktionen können waagrechte Asymptoten besitzen.
Um eine waagerechte Asymptote zu bestimmen, muss man ermitteln, welchem Grenzwert die Funktionswerte (y) zustreben, wenn die x-Werte ins positiv Unendliche und ins negativ Unendliche gehen.
Vereinfacht stellt sich für die x-Werte eine unendlich große positive bzw. negative Zahl vor und schaut dann, was mit den Funktionswerten passiert.
Dazu gehen Sie vor, dass Sie nur die x-Werte im Zähler und Nenner mit der höchsten Potenz betrachten, da die anderen Werte im Unendlichen vernachlässigt werden. Haben Sie sowohl im Nenner als auch im Zähler einen x-Wert mit einer beliebigen Potenz, müssen Sie den Bruch kürzen und schauen, ob und welche Zahl herauskommt.
Diese Zahl beschreibt Ihnen dann, wo die waagerechte Asymptote der Funktion liegt, sodass Sie sie ganz einfach in Ihr Koordinatensystem einzeichnen können.
Für das obige Beispiel f(x) = 1-x/x² erhalten Sie die x-Achse als waagrechte Asymptote, da die Funktionswerte für große x beliebig klein werden, sich also der Null annähern. Bei der Funktion f(x) = (2x²-1)/x² erhalten Sie als waagrechte Asymptote x = 2, wenn Sie den obigen Regeln folgen (Potenzen beachten).

Beachten Sie, dass es nicht bei jeder gebrochen rationalen Funktion eine waagerechte Asymptote gibt. Ein Beispiel ist die Funktion x²/(1-x), die für große x über alle Grenzen wächst.

Gruß raffisworld