Konvergenz und Divergenz, zwei Begriffe, die ziemlich wissenschaftlich klingen und mit denen Sie nichts anzufangen wissen? Das können Sie ändern, denn die Bedeutung ist nicht schwer zu verstehen.
Um die mathematischen Begriffe "Konvergenz" und "Divergenz" zu verstehen, benötigen Sie einige Kenntnisse zum Thema Zahlenfolgen.

Zahlenfolgen in der Mathematik

Als Zahlenfolge wird eine Funktion bezeichnet, deren Definitionsbereich die natürlichen Zahlen sind. Von einer reellen Zahlenfolge spricht man, wenn der Wertebereich die reellen Zahlen umfasst. Anschaulich bedeutet das: Jeder natürlichen Zahl (1, 2, 3, 4, ...) wird nach einer bestimmten Vorschrift eine andere Zahl zugeordnet. Diese Zahl kann auch negativ oder gebrochen sein.

Beachten Sie: Einige Professoren zählen die Null zu den natürlichen Zahlen, andere tun dies nicht. Lesen Sie daher genau die Definition einer Zahlenfolge, um zu erkennen, ob Sie die Null einbeziehen müssen oder nicht.
Allgemein schreibt man (an) für eine Zahlenfolge. Einzelne Glieder werden als an ohne Klammer bezeichnet. Wenn Sie für n eine Zahl einsetzen, benennen Sie ein konkretes Glied der Zahlenfolge. So ist a3 das dritte Glied, also die Zahl, die der 3 zugeordnet wurde.

Beispiele für Zahlenfolgen sind (an) = n2, (bn) = 2n + 3 oder cn = cn-1+ 4 mit c1 = 1. Sie können eine Zahlenfolge allgemein definieren (a, b) oder durch die vorhergehenden Glieder (c).

Konvergenz einer Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge konvergiert, wenn sich ihre Glieder bei wachsendem n "immer mehr" einer bestimmten Zahl annähern. Diese Zahl nennt sich Grenzwert. Exakt bedeutet das:

Wählen Sie eine beliebig kleine positive Zahl. Prüfen Sie, ob "fast alle" Glieder der Zahlenfolge näher am Grenzwert liegen als Ihre kleine Zahl.
Die Anzahl der Glieder, deren Abstand zum Grenzwert größer ist, muss endlich sein, Sie müssen sie also zählen können. Wenn dies der Fall ist, liegt eine Konvergenz gegen den Grenzwert vor.

Ein Beispiel für eine konvergente Zahlenfolge ist (an) = n-1. Die ersten Glieder sind 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... . Wenn Sie weitere Glieder berechnen, werden Sie feststellen, dass diese sich immer mehr der Null annähern. In diesem Fall spricht man von einer "Nullfolge". Sie könnten stattdessen eine Folge (bn) = n-1+1 definieren. Dann liegt eine Konvergenz gegen 1 vor.
Divergenz einer Zahlenfolge

Gibt es bei einer Zahlenfolge keinen Grenzwert, so spricht man von Divergenz. Dabei liegt der Spezialfall der bestimmten Divergenz vor.

Folgen, die ins (positive oder negative) Unendliche wachsen, sind bestimmt divergent. Bei solchen können Sie eine beliebig große (oder kleine) Zahl finden, über (oder unter) der "fast alle" Glieder der Folge liegen. Die exakte Betrachtung erfolgt analog zum Grenzwert. Daher spricht man vom Unendlichen als einem "uneigentlichen Grenzwert". Eine bestimmt divergente Folge ist beispielsweise (an) = n2.

Eine Folge, die nicht bestimmt divergiert, ist zum Beispiel (bn) = n*(-1)n. Hier bilden sich zwei Teile aus, von denen der eine gegen Unendlich strebt und der andere gegen minus Unendlich. Ausschlaggebend ist, ob n gerade oder ungerade ist. Dadurch liegt kein eindeutiger uneigentlicher Grenzwert vor, somit keine bestimmte Divergenz.

Konvergenz und Divergenz unterscheiden sich durch die Existenz eines Grenzwertes. Gibt es einen solchen, liegt Konvergenz vor, ansonsten handelt es sich um Divergenz.

Gruß raffisworld