Welches Verhalten kann eine Funktion im Unendlichen haben? Diese Frage beschäftigt nicht nur Schüler im Matheunterricht, sondern manchmal auch Zukunftsforscher.

Verhalten im Unendlichen - warum das wichtig ist

Die Frage, wie sich eine bestimmte Funktion im Unendlichen verhält, ist natürlich zunächst (nur) im Mathematikunterricht wichtig. Denn will man den Graphen einer Funktion zeichnen, so muss man wissen, wie die Funktion jenseits einiger gerechneter Werte aus der Wertetabelle weitergeht.
Aber nicht nur dort kann es wichtig sein, das Verhalten der Funktion gut zu kennen. Auch Zukunftsforscher oder andere Wissenschaftlicher wie Klimaforscher oder Biologen interessieren sich dafür, wie ein von ihnen entworfenes Modell die Zukunft beschreibt.
So ist es beispielsweise interessant, ob das Bevölkerungswachstum einem Sättigungswert zustrebt oder über alle Grenzen wächst. Oder ob die Wirkung Ozon schädigender Gase sich abflacht.
Und Biologen interessiert, wie sich die Population einer bestimmten Art in einer ökologischen Nische ihrem Modell (und den ermittelten Daten entsprechend) entwickelt. Diese Beispiele seien genannt, es gibt jedoch unzählige weitere.

So verhält sich eine Funktion im Unendlichen

Wenn Sie eine bestimmte Funktion f(x) gegeben haben, so können Sie das Verhalten dieser Funktion im Unendlichen am einfachsten bestimmen, indem Sie große positive und große negative Zahlen als x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen (auch wenn Lehrer das im Allgemeinen nicht so gerne sehen).
Korrekterweise überlegt man, was mit der Funktionsgleichung passiert, wenn man immer größere positive bzw. immer größere negative Zahlen einsetzt.
Aber immerhin bekommen Sie dann schon einmal ein Gefühl dafür, ob die Funktion über alle Grenzen wächst (also sehr große Werte annimmt) oder gegen einen bestimmten Wert strebt. Im letzteren Fall ist dies dann eine waagrechte Asymptote, der sich die Kurve annähert. Diese waagrechte Asymptote kann auch die x-Achse (y = 0) sein!

So bestimmen Sie das Funktionsverhalten - Beispiele

Die bekannte Hyperbelfunktion f(x) = 1/x nähert sich sowohl für große positive als auch große negative x-Werte dem Wert y = 0, sprich: Die Funktionswerte werden immer kleiner. In diesem Fall ist - wie oben schon angesprochen - die x-Achse die waagrechte Asymptote.
Die quadratische Funktion f(x) = x² wächst sowohl im positiv als auch negativ Unendlichen über alle Grenzen (sprich: Die Funktionswerte werden beliebig groß). Der Graph geht sprichwörtlich steil nach oben.
Die Exponentialfunktion f(x) = ex zeigt ein unterschiedliches Verhalten. Für sehr große positive x-Werte wächst sie über alle Grenzen (Stichwort: exponentielles Wachstum), für sehr große negative x-Werte wird der Funktionswert sehr klein und nähert sich der x-Achse (als Asymptote).


Gruß raffisworld