Ganzrationale Funktionen - das sollten Sie wissen

Ganzrationale Funktionen, auch Polynome genannt, entstehen aus Potenzfunktionen.
Jede Funktion der Art y = xn ist eine Potenzfunktion, wobei n eine natürliche Zahl darstellt. Beispiele für Potenzfunktionen sind y = x², aber auch y = x10.
Addiert man mehrere unterschiedliche Potenzfunktionen (inklusive eines Zahlenfaktors), entsteht ein Polynom. Mit anderen Worten: Jedes Polynom setzt sich aus Potenzfunktionen zusammen.
Beispiele für derartige ganzrationale Funktionen sind y = 2x³ - 7x, aber auch y = 3x + 4.
Achten Sie beim Aufschreiben der Funktionsgleichung darauf, dass Sie die Potenzen nach ihrer Größe ordnen. Dies erleichtert den Überblick und lässt den Grad schneller erkennen (siehe unten).
Grad eines Polynoms - so erkennen Sie ihn

Jede ganzrationale Funktion, jedes Polynom hat eine höchste x-Potenz. Die Hochzahl dieser Potenz entspricht dem Grad der Funktion.
So ist der Grad der Funktion y = 2x³ - 7x beispielsweise "3", weil dies die größte Hochzahl ist.
Einige Besonderheiten müssen Sie allerdings noch beachten: Eine lineare Funktion der Form y = ax + b (die ja auch ein Polynom ist), hat den Grad "1". Die konstante Funktion y = c hat den Grad "0", weil man sie (als Hilfe) auch in der Form y = c * xo schreiben könnte.
Und umgekehrt: Jede ganzrationale Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form f(x) = ax³ + bx³ +cx + d; einige der Zahlenkoeffizienten b, c oder d können auch Null sein, a muss jedoch von Null verschieden sein, sonst wäre der Grad dieser ganzrationalen Funktion kleiner als 3.
Liegt die Funktionsgleichung nicht als Summe, sondern in Klammerform vor, müssen Sie die Klammern auflösen und nach der Größe der x-Potenzen sortieren, um den Grad der Funktion zu erkennen. So hat die Funktion x³ * (2 - x²) = 2x3 - x5 = - x5 + 2x3 den Grad 5.
Eine schwierige Aufgabe ist es jedoch, den Grad eines Polynoms aus dem Funktionsgraphen, also ohne Funktionsgleichung, zu erkennen. Dies ist nur (Wissen in der Kurvendiskussion vorausgesetzt) anhand der Anzahl der Nullstellen, der Extremwerte sowie Wendepunkte möglich. Und auch dann nur, wenn die gesuchte Funktion auch wirklich die maximal mögliche Anzahl dieser Stellen aufweist.


Gruß raffisworld