Die Differential- und Integralrechnung ist Bestandteil des Mathematikunterrichts der Oberstufe am Gymnasium. Als Schüler stoßen Sie in diesem Zusammenhang früher oder später auf sogenannte uneigentliche Integrale, die sich von den "gewöhnlichen" Integralen etwas unterscheiden, mit dem richtigen Handwerkszeug aber nicht wesentlich schwieriger zu lösen sind.

Was sind uneigentliche Integrale?

Uneigentliche Integrale sind Integrale, die sich auf den ersten Blick nicht von gewöhnlichen Integralen unterscheiden müssen. Veranschaulichen können Sie sich uneigentliche Integrale am besten, wenn Sie sich eine Skizze machen. Integrieren Sie eine beliebige Funktion, dann entspricht das Integral dem Flächeninhalt unter der Kurve. Doch was ist, wenn die Funktion an einer Integrationsgrenze gegen Unendlich strebt?

Die gleiche Schwierigkeit tritt auf, wenn die betrachtete Funktion eine waagrechte oder senkrechte Asymptote besitzt.
Zunächst wird Ihnen das Problem vielleicht nicht auffallen, beginnen Sie aber, das Integral wie gewohnt zu lösen, dann werden Sie spätestens beim Einsetzen der Grenzen bemerken, dass Sie nicht weiterkommen.
Sehen Sie sich beispielsweise einmal die eulersche Funktion f(x) = ex an und versuchen Sie, diese von minus Unendlich bis null zu integrieren. Tun Sie dies und setzen die Grenzen ein, dann erhalten Sie den Term "e0-e-?", doch was sagt Ihnen dieser Ausdruck?

Lösen uneigentlicher Integrale

1. Uneigentliche Integrale können Sie sehr einfach lösen, wenn Sie die "problematische" Integrationsgrenze durch eine Variable ersetzen, das Integral lösen und anschließend eine Grenzwertbetrachtung durchführen, bei der Sie die Variable gegen den ursprünglichen "Problemwert" laufen lassen.
2. Im obigen Beispiel lösen Sie das Integral ex dx mit den Integrationsgrenzen u und 0. Die Stammfunktion von f(x) = ex ist F(x) = ex, denn es gilt F'(x) = f(x).
3. Setzen Sie nun die Integrationsgrenzen ein, dann erhalten Sie den Term e0-eu = 1-eu.
4. Nun bilden Sie den Grenzwert für u -> -?. Sie erhalten limu 1-eu = 1.

Weiteres Beispiel für uneigentliche Integrale

1. Die Funktion g(x) = 1/x2 soll auf dem Intervall 0 bis 1 integriert werden. Sie wissen, dass die Funktion g an der Stelle x = 0 eine Polstelle besitzt.
2. Zunächst bestimmen Sie mit G(x) = -1/x die Stammfunktion der Funktion g.
3. Für die untere Integrationsgrenze setzen Sie zunächst v für 0 ein, dadurch erhalten Sie für den Flächeninhalt A = -1-(-1/v).
4. Nun betrachten Sie den Grenzwert (limv->0) für v gegen 0. Für v gegen 0 strebt 1/v gegen +? und da zwei Minuszeichen vor dem Ausdruck stehen, geht der Flächeninhalt A demzufolge gegen unendlich.

Sie sehen, uneigentliche Integrale zu lösen, ist gar nicht so schwer. Sie müssen nur wissen, an welcher Stelle Sie ansetzen müssen.

Gruß raffisworld