Befassen Sie sich gerade mit Parabeln und möchten den Flächeninhalt unter einem Parabelstück bestimmen? Hier erfahren Sie, wie Sie vorgehen müssen.

Parabelstück festlegen

Am besten machen Sie sich die Bestimmung des Flächeninhalts unter einem Parabelstück an ein oder zwei einfachen Beispielen klar. Alle weiteren Aufgaben können Sie analog durchführen.

1. Angenommen Sie haben die Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x2 gegeben und möchten den Flächeninhalt zwischen der Parabel, der x-Achse und der Parallelen zur y-Achse durch P(1|0) bestimmen. Dann sind die Grenzen der Integration x1 = 0 und x2 = 1.
2. Die Stammfunktion von f können Sie durch die Funktionsgleichung F(x) = 1/3x3 einfach angeben, denn es gilt: F'(x) = f(x).
3. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt also für den Flächeninhalt A = F(1) - F(0) = 1/3(1)2 - 0 = 1/3.

Ein weiteres Beispiel mit einem anderen Parabelstück

1. Angenommen Sie haben nun die Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = 4x3 und die erste Winkelhalbierende mit g(x) = x gegeben und möchten den Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionen und ihren beiden Schnittpunkten im ersten Quadranten bestimmen. Wiederum müssen Sie zunächst das richtige Parabelstück bestimmen.
2. Machen Sie sich am besten eine Skizze. Sie sehen, dass die Gerade zwischen den beiden Schnittpunkten im ersten Quadranten oberhalb der Parabel verläuft. Dies müssen Sie bei der Integration beachten.
3. Die beiden Schnittpunkte im ersten Quadranten bestimmen Sie durch Aufstellen und Lösen der Schnittbedingung f(x) = g(x). Sie erhalten die beiden Lösungen x1 = 0 und x2 = 1/2. x3 = -1/2 können Sie vernachlässigen, da der zugehörige Schnittpunkt nicht im ersten Quadranten liegt.
4. Sie müssen also die Funktion h(x) = g(x) - f(x) mit den Grenzen x1 und x2 integrieren. Sie ermitteln leicht H(x) = 1/2x2 - x4, denn es gilt H'(x) = h(x). Für die Fläche zwischen den Kurven gilt also A = H(1/2) - H(0) = 1/2(1/2)2 - (1/2)4 - 0 = 1/8 - 1/16 = 1/16.

Wie Sie sehen, ist es gar nicht so schwer, für ein bestimmtes Parabelstück eine Integration durchzuführen. Sie benötigen lediglich etwas Übung.

Gruß raffisworld