Kovarianz, Varianz und Standardabweichung

Bevor Sie sich an die Kovarianz heranwagen, sollten Sie sich zunächst die Begriffe Varianz und Standardabweichung klarmachen.

Haben Sie etwa eine Reihe von Messwerten vorliegen, so ist die Standardabweichung ein Maß für die Streuung dieser Werte um ihren Mittelwert. Die Varianz ist lediglich das Quadrat der Standardabweichung und damit immer positiv.
Die Kovarianz hingegen tritt immer bei zwei Zufallsvariablen auf. Sie beschreibt einen linearen Zusammenhang der Zufallsvariablen und kann sowohl positiv als auch negativ sein. Ist die Kovarianz z. B. positiv, so verhalten sich die Messwerte der einen Variable ähnlich wie die Messwerte der anderen.
Als Beispiel überlegen wir uns: Sind (x1,x2,...,xn) die Messwerte der Zufallsvariablen X und (y1,y2,...,yn) die Messwerte der Zufallsvariablen Y, dann ist bei einer positiven Kovarianz davon auszugehen, dass falls der Messwert xi viel größer ist als der Mittelwert, dann auch der Messwert yi stark nach oben ausschlägt. Je größer der Wert der Kovarianz ist, desto enger ist dieser Zusammenhang.
Ist die Kovarianz gerade 0, dann ist überhaupt kein Zusammenhang zwischen den einzelnen Werten ersichtlich. Es kann also sein, dass sowohl x1 und y1 stark nach oben ausschlagen, dafür aber x6 und y6 sich völlig gegenläufig verhalten. Es ist keine Tendenz erkennbar.
Bei einer starken negativen Kovarianz verhalten sich die Messwerte demzufolge gerade umgekehrt.

Anwendungsbeispiele der Kovarianz

Nehmen wir an, Sie investieren auf dem Kapitalmarkt in Wertpapiere. Kaufen Sie beispielsweise nur ein Wertpapier, dann erhalten Sie durch die Standardabweichung dieses Wertpapiers ein Risikomaß für dieses Wertpapier. Klar ist, dass bei einem Bankrott des Unternehmens ein Totalverlust droht. Was können Sie tun, um Ihr Risiko zu verringern?
Im nächsten Schritt investieren Sie nicht nur in ein Wertpapier, sondern in zwei. Nun sind nicht nur die Standardabweichungen der einzelnen Wertpapiere, sondern auch deren Kovarianz bedeutsam. Haben diese eine starke positive Kovarianz, dann haben Sie im Bankrottfall des einen Unternehmens wahrscheinlich wieder schlechte Karten. Da sich die Wertpapiere nahezu identisch verhalten, wird auch das andere Wertpapier dramatisch fallen.
Daher suchen Sie sich eher Wertpapiere aus, die eine negative Kovarianz besitzen. Ein Totalverlust des einen Wertpapiers kann somit durch das andere Wertpapier teilweise kompensiert werden, was für Sie natürlich risikominimierend ist. Diesen Effekt nennt man Diversifikationseffekt.
Im nächsten Schritt halten Sie natürlich nicht nur zwei Wertpapiere, sondern sehr viele unterschiedliche Wertpapiere. Diese wählen Sie wieder nach den oben genannten Kriterien aus.
Aus theoretischer Sicht existiert eine Art optimales Marktportfolio, das Sie halten sollten, um die bestmögliche Mischung aus Rendite und Risiko zu erhalten.
Dieses optimale Marktportfolio lässt sich natürlich in der Praxis schwierig ermitteln, daher ist es für Sie als Anleger maßgeblich, dass Ihr Portfolio dem optimalen Marktfolio möglichst nahe kommt.

Sind Sie bereits am Kapitalmarkt aktiv, so können Sie ja Ihre Anlegerstrategie nochmals unter den oben genannten Gesichtspunkten überdenken und optimieren. Die theoretischen Überlegungen zur Kovarianz sollten Ihnen dabei behilflich sein.

Gruß raffisworld